Question

已知二次函数fx的二次项系数为a不等式fx>-2x的解集为(1,3),若f(x)的最大值为正数，求a的范围

Answer 1

由题意设f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0
则不等式f(x)>-2x可写为：ax²+bx+c>-2x
即：ax²+(b+2)x+c>0
已知该不等式的解集为（1，3），
则可知a<0，且关于x的二次方程ax²+(b+2)x+c=0的两个解为：x1=1，x2=3
由韦达定理有：-(b+2)/a=1+3=4，c/a=1*3=3
即有：b=-2-4a，c=3a
而当x=-b/(2a)时，f(x)有最大值为(4ac-b²)/(4a)
若f(x)的最大值为正数，
则：(4ac-b²)/(4a)>0
即[12a²-(-2-4a)²]/(4a)>0
[3a²-(1+2a)²]/a>0
由于a<0，那么不等式[3a²-(1+2a)²]/a>0等价于：
3a²-(1+2a)²<0
3a²-1-4a-4a²<0
-a²-4a-1<0
a²+4a+1>0
(a+2)²>3
解得：a>-2+根号3或 a<-2+根号3
所以：f(x)的最大值为正数，a的取值范围是： a<-2+根号3或-2+根号3<a<0