Question

如果,两个半径都是10厘米的圆相交

如果，两个半径都是10厘米的圆相交且图中两个阴影部分的面积相等，求长方形ABO1O2的面积。

Answer 1

这个很简单，因为两个阴影部分的面积相等，长方形的角又都是直角。所以面积等于两个圆的面积的1/4减去交叉部分的阴影面积加上交叉部分外的阴影部分的面积，因为两个阴影部分的面积相等，所以长方形ABO1O2的面积就等于圆O1面积的1/4加上圆O2面积的1/4。长方形ABO1O2的面积是圆的面积的一半。

追问

可以具体列一下算式吗？

追答

解：设两圆相交且在长方形内的点为C，与长方形相交的两点分别为D，E如图。R=10cm

因为：长方形ABO1O2的面积=扇形AO1D的面积+扇形BO2E的面积—CDE的面积+ABC的面积

又因为：ABC的面积=CDE的面积

所以：长方形ABO1O2的面积=扇形AO1D的面积+扇形BO2E的面积

因为:∠AO1O2=90°，∠BO2O1=90°

所以：扇形AO1D的面积=1/4圆O1面积,扇形BO2E的面积=1/4圆O2的面积

所以：长方形ABO1O2的面积=1/4圆O1面积+1/4圆O2的面积

Answer 2

连接2个圆的交点和O2，交点为E，设角O1O2E为α

那就有下面的半个面积为：r²α/2π - r * sinα * r*cosα （弧减去三角形）

上面的不规则半个面积为：长方形-三角形-弧形

                                     r*r*cosα - r * sinα * r*cosα -  r²*（π/2 - α)/2π

这2个相等就有：

r²α/2π - r * sinα * r*cosα = r*r*cosα - r * sinα * r*cosα -  r²*（π/2 - α)/2π

求：2*r*r*cosα =π/2