Question

可交换的矩阵什么意思

Answer 1

可交换的矩阵意思如下：

满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵，即矩阵A，B满足:A·B=B·A。高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n阶实方阵。

定义:满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足:A·B=B·A。高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n阶实方阵。

定理1：

下面是可交换矩阵的充分条件:设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换;设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换;设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换;设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换;

设A,B均为准对角矩阵(准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵),则A,B可交换;设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换;设A可逆,则A与其逆矩阵可交换;

注:A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。A^n(n=0,1...,n属于N)可与A^m(m=0,1...,m属于N)交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。

定理2：

设AB=αA+βB,其中α,β为非零实数,则A,B可交换;设Am+αAB=E,其中m为正整数,α为非零实数,则A,B可交换.

定理3：

设A可逆,若AB=O或A=AB或A=BA,则A,B可交换;设A,B均可逆,若对任意实数k,均有A=(A-k·E)B,则A,B可交换。

定理4：

设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵;设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.