Question

关于0.9的无限循环等不等于1的问题

求各位高手解释~~~谢谢~~~~

Answer 1

0.9的循环不等于1，但是运算的时候可以看做1。它永远小于但不等于1，和1永远差距0.000（0循环）001。
但是数学运算中一般不会去计较这么小的误差了，0.9的循环只是一个概念而已，你无法用任何数据表示出来的，就像∞，你知道是无穷大，但是你知道无穷大是多少？你只要知道这个是一个概念就好了，较真你就输了

追问

运算时可以看做1？这个我倒是不怎么在意，我就是想知道他们到底想不想等

追答

严格意义上来说不相等，1>0.9循环

很多类似这样概念性的数，真正在数学运用中是不适合的，比如X+X=X，这是个一元一次方程，我们一般解得X=0，但是对于无穷大来说∞+∞=∞，也就是说X=∞也是符合的，X=∞+N，都是符合的，也就是说X的值有无穷多个，但是你觉得可能吗？所以严格来说，概念数代入等式本身就不合理

追问

嗯嗯！这个我倒是能明白，我也觉得不合适，嗯，那还有一种证明，就是说0.9的无线循环=3*0.3的无限循环=3*1/3=1 这个的话是什么问题呢？

追答

0.9的无线循环=3*0.3的无限循环=3*1/3=1

首先，在普遍意义上来说，0.3的循环=1/3，是没错。但是你也要理解，其中忽略了一点1/3是除不尽的，在0.3循环的基础上面，它始终多了一个要被3整除的1。

这样说不好理解，我在纸上下写

所以，真要探究的话，1/3要比0.3的循环大，近乎相等

追问

啊 这样我明白了~~谢谢~~~

Answer 2

这个问题涉及到极限，是高等数学的基础。明确地告诉你，0.9的无限循环等于1，这是可以证明的。一个整数有两种表达形式，例如1，既可以写成1.0000…… ，也可以表示为0.999…… 。前一种是我们最常用的，只不过省略了0而已。

追问

为什么呢？

追答

这只不过是表达方式不同罢了，其实质还是相同的。

追问

实质相同？若果从数轴上说，一个是无限接近1，一个是1，怎么能说实质一样呢？

追答

无限接近1，是能够到达1的

追问

那还是接近啊。。。并不是就是1啊。。。。

追答

它不断在接近，我们就认为它能够到达1，那么它就是1 .这只是人们的一种思想，觉得它总能成为1 .

追问

总能成为1？那为什么不是1而是0.9的无限循环呢？

追答

我之前不是说了嘛，一个整数是有两种表达形式的

追问

不懂。。。

Answer 3

用1-0.9的无限循环，运算后的答案即是0.0，0的循环，也就是在小数点后面添任意个0，仍然是0，这是数学定律来的，这样即得1-0.9的无限循环=0，即0.9的无限循环即等于1.

追问

为什么1-0.9的无限循环，运算后的答案即是0.0啊？

追答

对啊，在小数后面添无限个0，其大小不变嘛，即是0=0.0=0.00=0.0,0的循环。
1-0.9,9的循环，结果就是，0.0，0的循环，不管你添多少0，他都是等于0
所以1-0.9，9的循环=0，即1=0.9，9的循环。

追问

尽管是一直在加0，可是和楼下那个1/3不是一样的么，是一直在减下去的，并没有完啊，怎么就认为是0了呢？

追答

根据小数的基本性质：“小数的末尾添上任意个零或者去掉任意个零，小数大小不变” 推论出来的啊。

追问

可是它还在循环啊 。。。还没有减完啊 怎么就是0了？

追答

你一直往后减，就是添无限个零嘛，根据小数的基本性质，你在小数的末尾添多少个零，小数的大小都是不变的，所以仍然是零。

追问

既然是一直加零，也就是说没有减尽，怎么能认为是0呢？只是无限接近而已

追答

对啊，一直加0，不管你在小数末尾加多少个0，小数的太小都不变嘛，所以仍然是0嘛。
因此：1=0.9，9的循环。
你可能在纠结为什么“小数末尾加0减0，小数的大小不变”这个问题。这是由小数的基本定义和基本性质决定的。
所有的数学运算、公式和定律，都是基于一些原始的定义、基本假设、基本性质或公理而建立的体系，再经过逻辑推理而产生的。不是说不能怀疑那些定义、基本性质或公理，及由此建立的体系是否就是完善或没有错误的，只是认为基于该体系的逻辑推理而产生的定律及其它逻辑推理，在该体系中是成立的。而现在这个数学体系，就是你我都在学习并应用到各个生产、生活和科技领域的。
另外，网友采纳的那个有图的答案和你说你明白那个回答，有严重错误。因为他说：“严格意义上来说不相等，1>0.9循环”，还说“1/3要比0.3的循环大“，都是近乎相等，这是严重的数学逻辑错误，这根本无关精度的问题。
不知网易是真不明白还是装糊涂，居然能让这种回答成为推荐答案，误人啊！
如果百度或百度网友有是数学家的，望用专业语言来解答这个问题。

追问

他说的没错啊，1/3不是等于0.333333......以前老师也讲过啊，你怎么说是逻辑错误呢？

追答

晕，你们的老师居然能这样教你们。
1/3就是等于0.3，3的循环，否则分数、小数和极限的相关定理、运算规则和理论都将被推翻。

追问

我们老师是这样说的，1/3从计算上来说可以当成是0.3的无限循环，但是从理论上来说，他们是永远不相等的，我不知道你们老师是怎么教的，或者你是从哪里认为1/3就是0.3 的无限循环，1/3是除不尽的，也就是说永远有余数，是不可能和0.3循环相等的，大学老师真的有这样说过。

Answer 4

设x=0.999999...
10x-x=9
x=1
就这样了，我记得课本上面有的

追问

我也知道这个，但是我想知道这些证明都对不对呢，因为有数学家说过，无限循环小数是一个不停的运算过程，你是不能让一个数1去等于一个一直在运算的过程的，我很困惑，这种说法能不能解释这种算法呢？

追答

那要看你怎么看了，这要依靠个人观点，无法定论

追问

没有定论么这个问题？

追答

如果是我我会觉得两个都对，太高层次的话我也解释不了

追问

嗯~~~谢谢你~~~