Question

若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时

若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos^2 x (cosx的平方)+asinx-2)<3对任意的X属于R恒成立 求实数a的取值范围．

Answer 1

题目出错了： 对于条件中的“当x＞0时，f（x）＞0”应改为“当x＞0时，f（x）＞1”
该题在百度上已有多人回答过
解：(1)令x1=x2=0得f(0)=f(0)+f(0)-1 ，故f(0)=1

（2）由（1）知，f(0)=1。
取x1=x、x2=-x，则
f(x1+x2)=f(0)=1=f(x)+f(-x)-1。
即f(x)-1=-f(-x)+1=-[f(-x)-1]
∴f（x）-1为奇函数。
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]， 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0， ∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1， ∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）-[f（x1）-1]= f（x2）-f（x1）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1， ∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）+1＞1，∴f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）是R上的增函数．

(3) 由恒等式知f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1
因f(4)=5，所以f(2)+f(2)-1=5 解得f(2)=3
所以不等式可化为f（cos^2x+asinx-2）＜f(2)
因为是增函数，故有cos^2x+asinx-2<2 即1-sin^2x+asinx-2<2
整理得sin^2x-asinx+3>0对任意的x∈R恒成立
令sinx=t∈[-1，1] 转化为g(t)=t^2-at+3>0在t∈[-1，1]恒成立
只需g(t)的最小值>0
g(t)=(t-a/2^2+3-a^2/4 抛物线开口向上，对称轴t=a/2
则分如下三种情况讨论
(1)-1≤a/2≤1即-2≤a≤2时，最小值为g(a/2)=3-a^2/4>0即a^2<12
所以-2≤a≤2均适合题意
(2)a/2<-1即a<-2时，最小值为g(-1)=4+a>0得a>-4
所以-4<a<-2
(3)a/2>1即a>2时，最小值为g(1)=4-a>0得a<4
所以2<a<4
以上三种取并集得所求范围是-4<a<4