Question

过三角形ABC所在平面a外一点P，作PO垂直于a，垂足为O，连接PA,PB,PC

若PA垂直PB PB垂直PC PC垂直PA ，则点o是三角形ABC的______心？

Answer 1

O是△ABC的垂心.
∵PA ⊥ PB, PA ⊥ PC,
∴PA ⊥ 平面PBC,
∴PA ⊥ BC.
又∵PO ⊥ 平面ABC,
∴OA是PA在平面ABC内的射影.
∴OA ⊥ BC (三垂线定理).
同理, OB ⊥ AC, OC ⊥ AB.
即O是△ABC的垂心.

Answer 2

解答：
若PA=PB=PC，则点O是三角形ABC的（
外）心
证明过程，
三角形PAO,PBO,PCO都是直角三角形，
PA=PB=PC
又PO=PO=PO
利用勾股定理
OA=OB=OC
∴
O是三角形ABC的外心。