Question

已知函数f(x)=(x+1)/(x^2+3),x属于[0,a](a>0)(1)当a=2时,求函数的最大值

（2）函数f(X)的值域恰为[1/3,1/2],试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合

Answer 1

解：
解：
1.
f(x)=(x+1)/(x²+3)
=(x+1)/[(x²+2x+1)-(2x+2)+4]
=(x+1)/[(x+1)²-2(x+1)+4]
=1/[(x+1) +4/(x+1) -2]
x∈[0，2] x+1∈[1，3]
由均值不等式得，当(x+1)=4/(x+1)时，即x=1时，(x+1)+4/(x+1)有最小值4
此时f(x)有最大值[f(x)]max=1/(2+2-2)=1/2
2.
函数值域为[1/3，1/2]，即1/3≤(x+1)/(x²+3)≤1/2
(x+1)/(x²+3)≤1/2
x²-2x+1≥0
(x-1)²≥0，x可取任意实数。当且仅当x=1时取等号。
(x+1)/(x²+3)≥1/3
x²-3x≤0
x(x-3)≤0
0≤x≤3，当且仅当x=0或x=3时取等号。
即区间[0，1]即满足函数值域为[1/3，1/2]
又x∈[0，a]，自然数a满足1≤a≤3，a可以为1，2，3
a的集合为{1，2，3}。

Answer 2

（1）因为 x>=0 ，因此 x+1>0 ，
由 (x^2+3)/(x+1)=[(x+1)(x-1)+4]/(x+1)=(x-1)+4/(x+1)=(x+1)+4/(x+1)-2>=2*√4-2=2 ，
当且仅当 x=1 时，(x^2+3)/(x+1) 取最小值 2 ，
因此，当 x=1 时，y=(x+1)/(x^2+3) 在 [0，2] 上取最大值 1/2 。
（2）f '(x)=[(x^2+3)-2x(x+1)]/(x^2+3)^2= -(x-1)(x+3)/(x^2+3)^2 ，
列表如下：
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) 减 极小 增 极大 减
由 f(0)=1/3 ，f(1)=1/2 及函数在 [0，1] 上递增可知，a>=1 ，
又令 (x+1)/(x^2+3)=1/3 ，可解得 x1=1 ，x2=3 ，
所以 a 取值为 ｛a | 1<=a<=3｝，
由于 a 为自然数，因此取值为｛1，2，3｝。

Answer 3

直接对fx求导得-(x*x+2x-3)/[(x*x+3)^2]
令导数=0，分母肯定大于0，分子=-(x-1)*(x+3)=0，即1和-3为极值点，x范围>=0所以-3不算
当0<=x<1时导数>0,此时函数递增
x>1时导数<0,此时函数递减
所以x=1为极大值点，也为最大值点，且a=2时x=1属于[0,2]，所以最大值f(1)=1/2
第二问
当x趋于正无穷大时f(x)=0,当x=0时f(x)=1/3
令f(x)=1/3
解出x=0或x=3
而f(1)最大值为1/2，x属于[0,1)时f(x)<f(1)=1/2
又因为x>1后函数递减，所以a属于[1,3]