Question

数学难题（与三角形、圆，内心，外心有关的题）

在三角形ABC中，角A的平分线AD交三角形ABC的外接圆于E,O是外心，AE的中点I为三角形ABC的内心。求证OI是三角形IBD外接圆的切线。

Answer 1

题目有问题。

由垂径定理，OI垂直于AE 即OI垂直于ID

如果“OI是三角形IBD外接圆的切线”，那么外接圆圆心O'在ID上，那么O'就是ID的中点，则角DBI为直角，显然不符题意

题目应为“三角形IBC外接圆”

事实上，三角形IBC外接圆圆心为E

下面证明BE=EI=EC

三角形ABC中，I是内心，角CAE=角BAE=角CBE  

角ABI=角DBI

所以角BIE=角BAE+角ABI=角CBE+角DBI=角EBI

所以BE=EI

同理，EI=EC

得到BE=EI=EC

所以三角形IBC外接圆圆心为E

又OI垂直于ID

所以OI是三角形IBC外接圆的切线。

Answer 2

就是要通过已知条件的转换找到三角形IBD的外心（三中垂线交点），并且证明这个外心到OI的距离等于三角形IBD的外接圆半径！没图啊！

Answer 3

图图图图图