Question

关于数列的问题

已知在数列｛an｝中，a1=5/3，且3a n+1-an-2=0
（1）求证：｛an-1｝是等比数列，并求出｛an｝的通项公式
（2）设bn=以三为底（an-1）的平方/4的对数，数列｛1/bn·b n+2｝的前n项和为Tn,求证:Tn小于3/16
(2){1/bn乘b（n+2）}

Answer 1

（1）
3a（n+1）-an-2=0
3（a（n+1）-1）=an-1，a1-1=2/3。
∴an-1是首项为2/3，公比为1/3的等比数列。
an-1=2/3×（1/3）^（n-1）=2×（1/3）^n
∴an=2×（1/3）^n+1。
（2）
带入an，得bn=log（3）（（4×（1/3）^2n）/4）=-2n，即bn=-2n。
∴1/bnb（n+2）=1/4n（n+2）=1/8（1/n-1/（n+2））
∴Tn=1/8（1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+.....+1/（n-2）-1/n+1/（n-1）-1/（n+1）+1/n-1/（n+2））
=1/8（3/2-1/（n+1）-1/（n+2））
=3/16-1/8（（2n+3）/（n+1）（n+2））
＜3/16
综上，命题得证。

Answer 2

我直接说（2）吧，an=2×（1/3）∧n+1
bn=-2n
问题补充的那个表达式等于1/(4n*(n+2))
可化成1/8*（1/n － 1/n+2）
裂项相消求和得Tn=3/16 - （2n+3）/（(n+1)*(n+2)）

Answer 3

题目不清楚请加括号
1）3a(n+1)-an=2
a(n+1)-1=1/3(an-1)
所以{an-1}为等比数列
an-1=(a1-1)*(1/3)^(n-1)
a1-1=2/3
an=2*(1/3)^n+1
2）bn=log3[(an-1)^2/4]=2log3[(1/3)^n]=-2n
bn*b(n+2)=2n*2(n+2)=4n(n+2)
1/bn*b(n+2)=[1/n-1/(n+2)]*(1/8)
Tn=(1/8)*[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/n-1/(n+2)]
=(1/8)*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
<(1/8)*(1+1/2)=3/16