Question

微分和变分有什么区别？请详细地解析一下，谢谢！

微分和变分有什么本质的区别？虽然它们的运算法则都一样，那它们到底有什么区别呢？什么时候用变分，什么时候用微分呢？谢谢

Answer 1

微分和变分都有各自改变的量和不变的量，我们研究函数的微分，是给定一个函数f(x)，让自变量x有微小增量，这里x是改变的而函数f(x)是不变的。而变分是固定自变量x，让函数f(x)有微小改变，它研究的是函数的变化，由于这里的变量是函数，因此变分属于泛函分析的范畴。

追问

当函数的自变量X变化时，函数值怎么可能不变呢？函数值应该在自变量变化的同时从f(x)变化到f(x+Δx)啊！

追答

我说的f(x)不变不是指函数值不变，是指函数f(x)的形式不变，相对的，变分中，函数f(x)表达式是变化的，比如让f(x)=x有一个微小变化，变为g(x)=x+0.001，这里x没有获得增量，因此函数值f(x)是不变的。