Question

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若其面积S=1/4+(b^2+c^2-a^2),若a=10，则bc的最大值是

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若其面积S=1/4+(b^2+c^2-a^2),若a=10，则bc的最大值是

Answer 1

面积S=1/2bcsinA=1/4+(b²+c²-a²)
由余弦定理知道b²+c²-a²=2bccosA
∴S=1/2bcsinA=1/4+(b²+c²-a²)=1/4+2bccosA，即
1/2bcsinA=1/4+2bccosA
2bcsinA=1+8bccosA
2bc(sinA-4cosA)=1
bc=1/[2(sinA-4cosA)]
令bc=f(A)=1/[2(sinA-4cosA)],
函数f(A)=1/[2(sinA-4cosA)]，等式两边同时对A求导，并令其=0，求得唯一极值点，
f'(A)=1/2*(cosA+4sinA)/(sinA-4cosA)²=0，因为分母为完全平方式，且分母不能为零，必须分子为零。即
(cosA+4sinA)=0，化简可得
tanA=-1/4，即
tanA=-1/4时，bc取得最大值,其值为
bc=1/[2(sinA-4cosA)]
=1/[2(sinA-4cosA)]
=1/[(2cosA)*(tanA-4)]
=1/2*(1/cosA)*[1/(tanA-4)]
=1/2*(secA)*[1/(tanA-4)]
=1/2*sqrt(sec²A)*[1/(tanA-4)]
=1/2*sqrt(1+tan²A)*[1/(tanA-4)] 将极值点tanA=1/4代入可得
=1/2*sqrt[1+(-1/4)²]*{1/[-1/4-4]}
=1/2*sqrt[1+(1/16)]*{1/[-17/4]}
=1/2*1/4sqrt(17)*(-4/17)
=-1/34sqrt(17)
计算过程和答案均与a的取值不相干。
祝你学习进步！
本想附上余弦定理推导过程以利于理解，但“图片”功能受网络影响，没法使用，回答有些缺陷，请见谅。
若看不懂，请继续追问。

Answer 2

正弦定理 a/sinA=b/sinB
余弦定理 cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc
面积公式 S=(acsinB)/2
已知条件 S=1/4+(b^2+c^2-a^2)
由上面可以求得 bc=1/(2sinA-8cosA)
显然当bc取最大值时候 sinA-4cosA 为最小值且大于0
所以A的取值范围可以得到A为（arctan4,180）
令y=sinA-4cosA
则导函数y'=cosA+4sinA
当A=（arctan4，90）时候y'=cosA+4sinA>0，即单调递增（当A无限接近arctan4时候可以取最小值）
当A=（90,180）时候
可以解出当A=π-[arctan（1/4)]时候y可以取最小值