Question

证明:对于任意两个向量a、b，有(1)|a+b|小于等于|a|+|b|;(2)|a-b|大于等于||a|-|b||

Answer 1

|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2a·b
=|a|^2+|b|^2+2|a|*|b|*cos<a,b>
当cos<a,b>=1，即：a与b同向时
|a+b|^2取得最大值：(|a|+|b|)^2
当cos<a,b>=-1，即：a与b反向时
|a+b|^2取得最小值：(|a|-|b|)^2
故：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
1
即：|a+b|≤|a|+|b|
2
即：|a+b|≥||a|-|b||

Answer 2

（1）|a+b|²= a²+b²+2|a|*|b|cos<a,b> ≦ (|a|+|b|)²=a²+b²+2|a|*|b|
|a+b|、|a|+|b|均大于0，所以|a+b|≦|a|+|b|
（2））|a-b|²= a²+b²-2|a|*|b|cos<a,b> ≥ | |a|-|b| |²=a²+b²-2|a|*|b|
所以 | a-b | ≥| |a|-|b| |