Question

几何题，求解答

A，B为圆O上两定点，C为优弧AB中点，D为劣弧AB上任意一点，过A，B，D分别作圆的切线，交与E，F，连接CE，CF，与AB交于P，Q。求证：PQ长为定值。

Answer 1

我找到了一个严格的证明!

 

首先,我们给出一个漂亮而有用的结论:

条件与原先的问题一样,各个量标于图中

则有,a/b*c/d=cos(theta)^2.

 

注意,在图中,我们没有画出D点的切线,

 

首先,我们容易得到"两条黄线所夹之角为theta之一半"这一事实.

 

我们用面积考察a/b:               1/2 r r' sin(角2)

a/b=S(yellow)/S(green)= ---------------------------------- = cos(theta) sin(角2) /sin(角1)

                                       1/2 [r/cos(theta)] r' sin(角1)

注意r'是中间边,在图中没有标出,因为它会被消去.

 

同理,得到:

c/d=cos(theta) sin(角1) /sin(角2)

 

则该结论易得之.

 

现在开始证明原问题.

对绿色图形用Menelaus定理:

[a/b] [r/cos(theta)+r]/[r+rcos(theta)]  [x/y]=1

得到x/y=cos(theta) * b/a

 

同理,对左侧,可以得到:

y'/x'=cos(theta) * d/c

 

所以x/y=x'/y',但x+y=x'+y',

所以x=x'一定成立.

 

:)

P.S.

Menelaus 定理:

我们有如下构图:

则成立着a/b * c/d * e/f =1

 

面积公式:

三角形的已知量标在图中:

则三角形的面积S=1/2 * ab * sin(alpha)

Answer 2

楼主，这题我想两天了只有建系的方法计算量最小了……（虽然可能有添加无数辅助线的方法我没找到）
另外一个是用 设三角形三边，算旁切圆半径等 来算，计算量也不小呢。就差不多是梅氏定理。

楼主你实在没有方法了就挑一个吧。
顺便说一下，C在劣弧长度也是定值。

追问

建系是要用解析吧……梅捏劳斯定理那个是什么？您简单说一下思路好吗？我自己尝试~

追答

是啊，解析啊……

设AE 交BF于L ，AB交LC于K，过C点做圆切线，交于N，O，

去证明

AP/AK +BQ/BK =1

AK/NC=AL/NL=KB/CO=LB/LO=LK/LC

    只需要证

AP/NC +BQ/OC=LK/LC=LB/LO

AP/NC=EA/NE  , BQ/OC =BF/FO

设三角形ABL中 对应边长度为abl ，设半周长 p= （a+b+l）/2，面积为S（用海伦公式表达）

圆半径为S/(p-l )

EA =p-b  BF=p-a  AL=p

NE=NA+EA，OF=OC+BF

OC=NA=圆半径*[根号下（圆半径方+p方）+圆半径]/AL

LB/LO 也能用abl表示

全部代入可得成立。不过化简啊有点复杂

我真心觉得应该用解析。不过解析没人看。你要么？

追问

真心感谢您的解答，EFZR090441的解答更完美一些，大家共同学习~^_^

追答

嗯……我找这个三角形的时候r/cos(theta)+r] 直接用三边代入的，原来可以用角化简啊。。。

要是用两个梅氏定理就差不多是竞赛题了，建系老师都看得懂的。

Answer 3

学习一下，作个标记

追问

一同学习~

Answer 4

答案是PQ=1/2AB……过程正在想……

追问

我也感觉是，可就是证不出来……您也帮忙想想~

追答

这是一种特殊的方法……（自己打的，请见谅）

追问

您好！什么是第二数学归纳法呢？

追答

如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
【ps：只不过这个用在这里牵强了一点……正在想更加普适的方法】

追问

真心感谢您的解答，EFZR090441的解答更完美一些，大家共同学习~^_^