Question

求函数y=x^2+x√(x^2-1)的值域

Answer 1

由x^2-1>=0 ,得x>=1或x<=-1
可设 x=1/sinA , -π/2=<A<=π/2 A不等于0
化简 y=1/sinA^2+1/sinA*cosA/|sinA|
1)当0<A<=π/2
y=1/sinA^2+cosA/sinA^2=1/(1-cosA)
得y>=1
2)当-π/2=A<0
y=1/sinA^2-cosA/sinA^2=1/(1+cosA)
得1/2<y<=1
综上，y>1/2

Answer 2

(1)当x>=1时，函数单调性增函数，y>=1,取值为1到正无穷。
(2)当x<=-1时，函数可变为y=x^2-√[(x^2-1)x^2],令x^2=t,则t>=1
此时y=t-√(t^2-t)=t-√[(t-1/2)^2-1/4]=t-1/2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
y=√(t-1/2)^2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
令m=(t-1/2)^2,m>=9/4,则y=√m+1/2-√(m-1/4),
√m+√(m-1/4)在定义域内单调增，大于等于2+√2，
综上得到y>=1
解出y>=1/2，是别的地方复制的，但解错了

Answer 3

解：(1)当x>=1时，函数单调增，y>=1,取值为1到正无穷。
(2)当x<=-1时，函数可变为y=x^2-√[(x^2-1)x^2],令x^2=t,则t>=1
此时y=t-√(t^2-t)=t-√[(t-1/2)^2-1/4]=t-1/2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
y=√(t-1/2)^2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
令m=(t-1/2)^2,m>=1/4,则y=√m+1/2-√(m-1/4),分子有理化得
y=1/2+(1/4)/[√m+√(m-1/4)],m>=1/4.
√m+√(m-1/4)在定义域内单调增，大于等于1/2，
所以y<=1/2+1/2=1,当m趋向于无穷时，y趋向于1/2
得到1/2<y<=1.
综上得到y>=1/2.

追问

可以取到1/2吗？

追答

解：(1)当x>=1时，函数单调增，y>=1,取值为1到正无穷。
(2)当x=1
此时y=t-√(t^2-t)=t-√[(t-1/2)^2-1/4]=t-1/2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
y=√(t-1/2)^2+1/2-√[(t-1/2)^2-1/4],
令m=(t-1/2)^2,m>=1/4,则y=√m+1/2-√(m-1/4),分子有理化得
y=1/2+(1/4)/[√m+√(m-1/4)],m>=1/4.
√m+√(m-1/4)在定义域内单调增，大于等于1/2，
所以y=1/2.

Answer 4

先求定义域 x>=1或x<=-1 在画x √x^2-1的图像 求在定义域的min 值域就为（min，正无穷）

Answer 5

这个函数强行求导即可，导数不复杂。

Answer 6

[1，+∞）