Question

函数f(x)=x^3-3ax-1(a≠0），若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x)的图像有三个不同的交点，

求m的取值范围。
参考答案：∵f(x)在x=-1处取得极值
∴f’(-1)=3*(-1)^2-3a=0
∴a=1
∴f(x)=x^3-3x-1,f’(x)=3x^2-3
由f’(x)=0,解得x1=-1,x2=1
由f(x)的单调性，可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1
在x=1处取得极小值f(1)=-3
∵直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同交点
又f(-3）=-19<-3,f(3）=17<1
结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是（-3,1)

为什么最后要算f(-3）与f（3）？

Answer 1

直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同交点
因为f(x)在（-无穷，-1）和（1，+无穷）单调递增，（-1,1）单调递减
要想m的取值范围就在极小值和极大值之间
就要保证最小值小于极小值，最大值大于极大值（可以通过图像了解）
故只要在（-无穷，-1）和（1，+无穷）分别取一点能满足一个小于极小值，一个大于极大值就行
所以-3,3只是取得两个满足需要的点

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