由|A|=λ1λ2…λn, 推出|f(A)|= f(λ1) f(λ2)…f(λn) 怎么证明? 5
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存在正交矩阵Q, X=QY
使得 f=X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y = λ1y1^2+...+λnyn^2
由已知 λ1<=λ2<=…<=λn
所以 λ1y1^2+...+λ1yn^2<= f<= λny1^2+...+λnyn^2
即 λ1Y^TY<= f<= λnY^TY
因为 X^TX=(QY)^T(QY)=Y^TQ^TQY=Y^TY
所以 λ1X^TX<= X^TAX<= λnX^TX
使得 f=X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y = λ1y1^2+...+λnyn^2
由已知 λ1<=λ2<=…<=λn
所以 λ1y1^2+...+λ1yn^2<= f<= λny1^2+...+λnyn^2
即 λ1Y^TY<= f<= λnY^TY
因为 X^TX=(QY)^T(QY)=Y^TQ^TQY=Y^TY
所以 λ1X^TX<= X^TAX<= λnX^TX
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