Question

函数在点x处具有n阶导数，则函数在x的某一邻域内一定具有一切低于n阶的导数。如何理解？

Answer 1

简单说，要计算a的第n阶的导数，在a的某个领域必须都存在第n-1阶的导数，
观察式子：f(n)(a)=lim [f(n-1)(x)-f(n-1)(a)]\(x-a) (x-->a)
显示出：x要一步一步逼近a，在这个区间内（即某个领域内），所有f(n-1)(x)必定存在，以此类推，得到n个领域，取长度最小的区间，在这个领域内，一定有一切低于〜

追问

你说的我也懂了，不过只能选一个答案，另一个朋友耐心回答了那么久…所以对不起啦

Answer 2

　　因为 f 在点 x 的 n 阶导数定义为
　　　　f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h，
当然需要在x的某一邻域内一定具有 n-1 阶的导数。

追问

某一邻域如何理解？为何不是说在x处必存在n-1阶导数

追答

　　f 除了在点 x 处必存在 n-1 阶导数的，在点 x 的附近（某邻域内）也一定具有 n-1 阶的导数，才能计算 n 阶导数
　　 f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h。

追问

…说了等于没说，我可以这样理解吗，就是求导的条件是在x处连续，因为连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导

追答

“ 连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导”，错！

追问

不是说在某一邻域内具有一切低阶导数吗

追答

　　你说的是 “ 求导的条件是在x处连续，因为连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导”，这句话是错的，连续怎么能得到 “ 存在fn-1在x某一邻域内全部可导”？

追问

恩，是错的，刚想起来连续不一定可导…不过即使是某个特殊函数（比如分段函数）假设x离折点无限近总归存在在他附近的一段是可导的。这样对吗

追答

　　说 “在某一邻域内具有一切低阶导数”，可按我说的方法往下递推。

追问

…我只是想弄清某一邻域指什么，对不起，我比较笨…是不是可以按我说的理解？

追答

要计算极限
　　 f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h，
需要 f 的 n-1 阶的导数在 x 的附近有定义，这个 “在 x 的附近” 可看成 “x 的某一邻域”。