Question

计算∫x(cosx)^3 dx的不定积分

求解答，已有网友说用三倍角公式（cosx）^3=(cos3x+3cosx)/4,可解。如果不用这个公式，直接分部积分，求问怎么解下去？
∫x(cosx)^3 dx=∫x(1-(sinx)^2) d(sinx)或者，∫x(cosx)^3 dx=∫x(1+cos2x)/2 d(sinx),这两种思路，哪个比较容易计算出来？

Answer 1

第一种思路比较好算
∫ x • cos³x dx
= ∫ x • (1 - sin²x) dsinx
= ∫ x dsinx - ∫ x • sin²x dsinx
= xsinx - ∫ sinx - (1/3)∫ x dsin³x
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x + (1/3)∫ sin³x dx
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)∫ (1 - cos²x) dcosx
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)[cosx - 1/3 • cos³x]
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)cosx + (1/9)cos³x
= xsinx +(2/3)cosx - (1/3)xsin³x + (1/9)cos³x

Answer 2

后面一个应该快点，因为三角函数已经没平方项。其实被积函数三角函数积化和差展开后与三倍角公式一样。
∫x(cosx)^3 dx=∫(xcosx+cos2xcosx)/2 dx

=∫[xcosx+(cos3x+cosx)/2 ]/2dx
=∫x(cos3x+3cosx)/4dx=....