Question

已知梯形abcd中ab‖dc,ac⊥bc,ad⊥bd,求证ac=bd

Answer 1

取AB中点M，连CM、DM，
∵ AD⊥BD
∴ 2DM=AB

∵ AC⊥BC
∴ 2CM=AB
∴ CM=DM=AM=MB
∵ AB//CD
∴ ∠MAD+∠ADC=180°
∵ AM=DM

∴ ∠MAD=∠MDA
∠ADC=∠MDA+∠MDC
180°=∠MAD+∠ADC=∠MAD+∠MDA+∠MDC=2∠MAD+∠MDC
同理，∠MBC+∠BCD=180°
180°=∠MBC+∠BCD=∠MBC+∠MCB+∠MCD=2∠MBC+∠MCD
∵ CM=DM

∴ ∠MDC=∠MCD
∴ ∠MAD=∠MBC
∴ 梯形ABCD为等腰梯形
∴ AC=BD.