Question

已知球O的表面积为8π，A、B、C是球面上的三点，AB=2，BC=1，∠ABC=π3，点M是线段AB上一点，则MC2+MO2的

已知球O的表面积为8π，A、B、C是球面上的三点，AB=2，BC=1，∠ABC=π3，点M是线段AB上一点，则MC2+MO2的最小值为______．

Answer 1

∵球O的表面积为8π，∴球O的半径为

2

在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=

π

3

，
由余弦定理，得出AC²=AB²+CB²-2AB?CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×

1

2

=3，
∴AC=

3

，AC²+CB²=AB²
∴△ACB为Rt△，
∴O在三角形ABC中的射影O′是AB的中点，
设AM=x，则MC²=3+x²-2

3

x?cos30°，MO²=1+（1-x）²，
∴MC²+MO²=2x²-5x+5，
∴x=

5

4

时，MC²+MO²的最小值为

15

8

．
故答案为：

15

8

．