Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，（1）用an表示an+1；（2）证

已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，（1）用an表示an+1；（2）证明数列{an+1}是等比数列；（3）求an和Sn．

Answer 1

（1）由a_n+1=S_n+（n+1）①
得出n≥2时
 a_n=S_n-1+n ②
①-②得出
a_n+1-a_n=a_n+1
整理a_n+1=2a_n+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a₂=a₁+2=3，满足a₂=2a₁+1
所以a_n+1=2a_n+1．（n≥1）
 （2）在a_n+1=2a_n+1两边同时加上1得出
a_n+1+1=2（a_n+1）
根据等比数列的定义，得出数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{a_n+1} 的通项公式为a_n+1=2?2 ^n-1=2ⁿ
所以a_n=2ⁿ-1，
S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…（2ⁿ-1）
=

2(1?2n)

1?2

-n
=2 ⁿ⁺¹-2-n．