Question

高中函数证明题，啊啊啊，求会的网友解答。需要过程。谢谢。

已知曲线C：y=ax^2+bx+c，其中a＞b＞c，a+b+c=0。
曲线C被x轴截得的线段长为L，证明：3/2<L<3。

Answer 1

若a≤0，则0＞b＞c，a+b+c＜0不成立，故a＞0.
又a+b+c=0，得c＜0.
令y=0，得ax²+bx+c=0.
由韦达定理得x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
从而L=|x1-x2|=√（x1-x2）²=√（（x1+x2）²-4x1x2）=√（（b²-4ac）/a²）
由a+b+c=0，得b=-（a+c），代入L=√（a-c）²/a²）=（a-c）/a=1-c/a。
由a+b+c=0，得c=-（a+b），a=-（b+c）。
从而c/a＜-c/（c+c）=-1/2，c/a＞-（a+a）/a=-2.
则3/2=1+1/2＜1-c/a＜1+2=3，即3/2＜L＜3.
综上，命题得证。