Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）请猜想点P在边AC的什么位置上，试用这个结论，若三角形ABC的边AC上的高为1，求MP+NP的最短长度．

Answer 1

解：（1）如图所示，点P即为所求；

（2）P是AC的中点．
连接PM，BP，
∵AB=BC，P是AC的中点，
∴BP为AC边上的高，BP=1，
∴∠APB=90°．
∵∠B=120°，
∴∠BAP=30°，
∴AB=2BP=2×1=2，
又∵M是AB的中点，
∴PM=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
同理PN=1，
∴PM+PN=2．