Question

已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2F1F2=PF1+PF2

P在第三象限，且∠PF1F2为120°，求∠F1PF2的正切值。
老师好像是用余弦定理解得，可以提供一下解法吗？

Answer 1

由 2F1F2=PF1+PF2 得 4c=2a ，
由于 c=1 ，因此得 a=2 ，a^2=4 ，b^2=a^2-c^2=3 ，
那么椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1 ，
由于 P 在第三象限，且 ∠PF1F2=120° ，
所以直线 PF1 的方程为 y=tan60°*(x+1)=√3(x+1) ，
两方程联立可得 x^2/4+(x+1)^2=1 ，
化简得 5x^2+8x=0 ，
解得 x1= -8/5 ，x2=0 ，
代入 PF1 方程可得 P 坐标为（-8/5，-3√3/5），
因此 kPF1=√3，kPF2=(0+3√3/5) / (1+8/5)=3√3/13 ，
因此 tan∠F1PF2=(kPF1-kPF2)/(1+kPF1*kPF2)
=(√3-3√3/13) / (1+9/13)
=5√3/11 。