Question

收敛数列的有界性证明

数列{Xn}收敛，设当n趋于无穷时n=a，根据数列极限定义，对于堁E=1，存在正整数N，当n＞N时，不等式/Xn-a/＜1都成立，于是当n＞N时，【/Xn/=/（Xn-a)+a/≤/Xn-a/+/a/＜1+/a/】取M=max{/X1/,/X2/,X3/,,,,/XN/,1+/a/}那么数列{Xn}中的一切Xn都满足不等式/Xn/≤M。不明白【】中的换算，还有就是M的取值中XN的意思，还有就是数列趋于a但是只是趋于，为什么M的取值里面有1+/a/

Answer 1

目的是证明收敛数列的有界性。 数列{Xn}收敛到a（不是n=a,），根据极限定义对于任意E＞0, 存在正整数N，当n＞N，不等式/Xn-a/＜E都成立，此处E可以选为1。直观地想就是当n趋于无穷的时候，Xn的值无限接近a，为了准确描述这一性质，引入了N。【】的是绝对值不等式，为的是证明，当n>N时，所有的Xn都有上限，都要小于E+|a|。就是Xn无限接近a，在n>N之后，所有Xn都小于a加上个正数（E）。到此证明了从N开始，数列都是有界的（都小于E+|a|）。下面要证明n<=N的时候数列也得有界（X1, X2.....,XN，显然对于任意m, Xm<=|Xm|，所以对于所有n<=N，取其绝对值，并和刚才的E+|a|并为一个集合。N之前所有的Xn，都小于等于自身绝对值，N之后所有Xn都小于E+|a|。取该集合最大值为M，对于全部Xn来说，必然都小于这个值。最后，对于数列Xn, 确实存在M，对所有n, Xn<M，收敛数列必有界。

Answer 2

也就是说LIM情况Xn =获得的定义。
利用率限制的定义，第一次启动全部N后面（这里是无限的）Xn是有界的，我们可以得到情况Xn | <| A | +1
N在前面的数量有限，你可以找到最大值。

追问

还是不怎么明白，能通俗的说吗