Question

对于R上可导的任意函数f’(x),若满足(x-1)f’(x)≥0,则必有

对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)大于等于0,则必有( )
A.f(0)+f(2)小于2f(1) B.f(0)+f(2)小于等于2f(1)
C. f(0)+f(2)大于2f(1) D. f(0)+f(2)大于等于2f(1)
我想问一下C和D选项哪一个正确？

Answer 1

(x-1)f′(x)大于等于0，x>=1,f′(x)>=0或x<=1,f′(x)<=0
也就是f(x)在（1，正无穷）递增，（负无穷，1）递减，f（1）为最小值
另一方面考虑，f(1)为最小值，任何其他都大于f(1)所以选C

追问

有没有可能f′(x)>=0或x<=1,f′(x)<=0的情况下，f′(x)=0使得原函数为常函数？

追答

这个想法很好，常函数满足要求，那么就等于，是我欠缺考虑了

Answer 2

(x+1)f'(x)≥0,(x<>-1)f'(x)>=0,函数f(x)在处x<>-1处单调递增点（0,f(0)）,（-2,f(-2)）连线，中点坐标高于点（-1，f(-1)）所以f(0)+f(-2)<f-1)当x=-1时也满足题意。故选B