Question

已知fx=㏒a∧(1-mx/x-1)是奇函数(1)求m(2)求单调性(3)当fx的定义域为(1.a-2)时，fx的值域为(1.+∞)求a

Answer 1

(1)
f(x)=loga[(1-mx)/(x-1)]
f(-x)=loga[(1+mx)/(-x-1)]
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)+f(-x)=0
loga[(1-mx)/(x-1)]*[(1+mx)/(-x-1)]=0
[(1-mx)/(x-1)]*[(1+mx)/(-x-1)]=1
(1-m²x²)/(1-x²)=1
m²x²=x²
(m²-1)x²=0
m²=1,
m≠1==>m= -1
(2)
f(x)=loga[(x+1)/(x-1)]
函数f(x)可拆成：
y=loga(t)
t=(x+1)/(x-1)=1+[2/(x-1)]
函数t(x)的定义域为：
(x+1)/(x-1)>0==>D=(-∞,-1)∪(1,+∞),且在
左段、右段上分别是减函数，
当a>1时，y(t)函数单调增，t(x)函数在每一段上单调减，原函数是单调减；
当0<a<1时，y(t)函数单调减，t(x)函数在每一段上单调减，原函数是单调增；
(3)
∵定义域为：(1,a-2),而区间的纵坐标总是大于横坐标，∴a-2>1==>a>3
又∵f(x)是减函数，
∴f(a-2)=1
(a-1)/(a-3)=a
a-1=a²-3a
a²-4a+1=0
a=2+√3

追问

D的定义域的左段，右段是一减一增吧

不对，对勾函数是都是增函数不是减函数吧

第三问能说的详细点不？

追答

第（3）问是基于第（2）问的；
函数不是对勾函数是复合对数函数；
外函数：y=loga(t)是单调增，或单调减；
内函数：t=1+[2/(x-1)]是减函数，

所以，当a>1是，原函数（复合函数）是减函数，这是根据复合函数的同增异减性得来的；
第（3）问的a>3,因此原函数是减函数，右端点最小，因此
f(a-2)=1