Question

已知函数f(x)=4x^2-4ax.x∈[0,1]时，关于x的不等式|f(x)|>1,的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围

已知函数f(x)=4x^2-4ax.x∈[0,1]时，关于x的不等式|f(x)|>1,的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围

Answer 1

|f(x)|>1的解集为空集，
即|4x²－4ax|>1在区间[0，1]上无解。
展开有：
1、4x²－4ax<－1在区间[0，1]上无解，
得：a>x＋1/(4x)，函数y=x＋1/(4x)在(0，1/2)上递减，则(1/2，1)上递增，要无解，a要比这个函数的最小值还要小，则a≤1；
2、4x²－4ax>1在区间[0，1]上无解，
得：a<x－1/(4x)，函数y=x－1/(4x)在[0，1]内递增，要使得无解，
则a要比这函数的最大值还要大，则：a≥3/4。
综合，a需满足上述两个条件，即：3/4≤a≤1。

追问

怎么算出来的 函数y=x－1/(4x) 最大值是3/4 ？
答案是a∈(3/4,+∞)

追答

y=x在[0，1]内是个增函数
y=-1/4x在[0，1]内是个增函数
增函数加增函数还是增函数
所以y=x－1/(4x)在[0，1]内是个增函数
所以最大值为f(1)=1-1/4=3/4
觉得没错啊

Answer 2

|f(x)|>1的解集为空集，则|f(x)|<=1，只需|f(x)max|<=1且|f(x)min|<=1即可满足。
f(x)=4x^2-4ax,x∈[0,1]
对称轴x=a/2
当a>2时，f(x)为减函数，f(x)min=f(1)=4-4a,f(x)max=f(0)=0,则|4-4a|<=1,解得3/4<a<5/4，则无解
当a<0时，f(x)为增函数，f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(1)=4-4a,则|4-4a|<=1,解得3/4<a<5/4，则无解
当1>=a>=0时，f(x)min=f(a/2)=-a^2,f(x)max=f(1)=4-4a,则|4-4a|<=1,解得3/4<a<5/4;|-a^2|<=1,解得-1<=a<=1,上述的交集3/4<a<=1;
当2>a>1时，f(x)min=f(a/2)=-a^2,f(x)max=f(0)=0,|-a^2|<=1,解得-1<=a<=1,上述的交集为空集;
所以3/4<a<=1
那个，从别的地方截取，不对请回。