Question

如图,P为等边三角形ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,求证:

（1）PA+PB+PC>3\2AB ；（2）AP+BP>PC

Answer 1

（1）三角形两边和大于第三遍
所以
PA + PB > AB
PB + PC > BC
PC + PA > AC
左边右边全部相加得
2(PA + PB + PC)> AB + BC + AC
又AB=BC=AC, AB+BC+AC=3AB
所以
2(PA + PB + PC)> 3AB
两边除2
PA+PB+PC>(3/2)AB
（2）在三角形外部做BD 使得BD = BP 且 角DBA = 角PBC，连接AD
容易得到三角形DBA全等于三角形PBC（BD = BP，角DBA = 角PBC， AB = AC ）
所以AD = PC；
因为角ABC = 60度， 所以角DBP= 60度
所以三角形DPB为等边三角形，所以BP = PD。
在三角形ADP中，DP + AP > AD
因为AD = PC， DP = BP
所以 AP + BP > CP

Answer 2

第⑴问简单：
△PAB中，PA＋PB＞AB
△PBC中，PB＋PC＞BC
△PCA中，PC＋PA＞CA
∴2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋CA＝3AB
∴PA＋PB＋PC＞3/2AB
第⑵问利用一下旋转也不难：
以PA为边长作正△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD
易证△PAB≌△ACD
∴PB＝CD
在△PCD中，PD＋CD＞PC
而PD＝PA，PB＝CD
∴PA＋PB＞PC

Answer 3

(1) PA+PB>AB PB+PC>BC PA+PC>AC
三式相加得
2(PA+PB+PC)>3AB
PA+PB+PC>3/2 AB
(2)在三角形PBC中 角PBC<60 角PCB<60 所以角BPC>60
角BPC>角PBC
所以BC>PC
而PB+PA>BC=AB >PC
所以PB+PA>PC

Answer 4

以bc中点为坐标原点建立平面直角坐标系
设BC=2，P(x,y)，-1<x<1，0<y<根3
PA+PB+PC=[X^2+(根3-y)^2]^0.5+[(1-x)^2=y^2]^0.5+[x^2+(1-y)^2]^0.5自己算……
3/2AB=3
两边平方，肯定能比较出两个数的大小
同理，表示出两点之间距离然后比较得第二问结果