Question

如何求抽象函数的定义域

Answer 1

给定函数f(x)的定义域，如何求函数f(x+1)的定义域，或给定函数f(x+1)的定义域，如何求函数f(x)的定义域，这是定义域问题的一种类型，这类题是关于求复合函数的定义域问题。
已知函数f(u)，且u=h(x)，定义域是使函数有意义的自变量x的取值范围，对于复合函数必须注意层次，形象一点，f为父函数，h为子函数,，首先要让h(x)有意义。即x取值范围为u的定义域，u的取值范围为父函数的定义域，也即子函数的值域
弄清了复合函数的层次，解这类问题就会得心应手。
已知f(x)定义域为[-1,1]，求f(x+1)定义域
解析：即知f(u),u=x+1，父函数的定义域为[-1,1]，即知子函数的值域
要求子函数的定义域
-1<=u<=1==>-1<=x+1<=1==>-2<=x<=0
∴f(x+1)定义域为[-2,0]
例f(x)=2x==>f(x+2)=2(x+2)
f(x)的值域为[0,2]==>f(x)定义域为[0,1]==>h(x)=2x+4的值域为[0,2]==>0<=2x+4<=2==>-2<=x<=-1
∴f(x+2)定义域为[-2,-1]
已知f(x+1)定义域为[-2,0]，求f(x)定义域
解析：f(u),u=x+1，知子函数的定义域，要求父函数的定义域，即求子函数的值域
-2<=x<=0==>1-2<=x+1<=0+1==>-1<=x+1<=1==>-1<=u<=1
∴f(x)定义域为[-1,1]
例已知函数f(x)定义域为(0,2)
求下列函数的定义域：(1)f(x^2)+23，(2)y=[f(x^2)+1]/根号log1/2(2-x)
(1)解析：∵函数f(x)定义域为(0,2)
即知f(u),u=x^2，父函数的定义域为(0,2)，即知子函数的值域
要求子函数的定义域
0<u<2==>0<x^2<2==>-√2<x<√2
∴f(x^2)+23的定义域为-√2<x<√2
(2)解析：∵y=[f(x^2)+1]/
√(log(1/2,2-x)
2-x>0==>x<2
取二者交
∴函数y的定义域为-√2<x<√2