Question

求函数f(x）=2x²—2ax+3在区间[—1,1]的最小值

求函数f(x）=2x²—2ax+3在区间[—1,1]的最小值

Answer 1

f(x)=2x^2-2ax+3
=2(x^2-ax+a^2/4)-a^2/2+3
=2(x-a/2)^2+3-a^2/2
可知该二次函数的对称轴为x=a/2，且开口向上。

当a/2<-1即a≤-2时，在区间[-1,1]上是递增的。
则在f(-1)有最小值
f(-1)=2+2a+3=2a+5

当-1≤a/2≤1即 -2≤a≤2 时，
在区间[-1,1]存在最小值f(a/2)=3-a^2/2

当a/2＞1即 a>2时，在区间[-1,1]上原函数递减，
最小值为f(1)=2-2a+3=5-2a

Answer 2

函数f(x)的对称轴是-(-2a/4)=a/2
画出函数f(x)的图像和区间[-1,1]
1.当对称轴＜-1即a/2＜-1 a＜-2时，
函数的最小值是当x=-1时，函数的最小值是2×(-1)²-2×a×(-1)+3=5+2a
2.当对称轴在-1和1之间时，即-1≤a/2≤1 -2≤a≤2时
函数的最小值是当x=a/2时，函数的最小值是2×(a/2)²-2×a×a/2+3=-a²/2+3
3.当对称轴＞1时即a/2＞1 a＞2时，
函数的最小值是当x=1时，函数的最小值是2×1²-2×a×1+3=5-2a

Answer 3

函数对称轴为x=a/2
当-1≤x=a/2≤1时，最小值为f(a/2)=3-a²/2
当x=a/2≤-1时，最小值为f(-1)=5+2a
当x=a/2≥1时，最小值为f(1)=5-2a

Answer 4

f'(x)=2*2x-2a=4x-2a
f'(x)=0===》2x=a===》x=a/2
区间[—1,1]所以 -1<a/2<1时 即 -2<a<2 时 x = a/2

当a>2时 区间[—1,1] 函数f'(x)=4x-2a <0 所以趋势递减 故 x=1最小值 f(1)=5-2a
当a<-2时 区间[—1,1] 函数f'(x)=4x-2a >0 所以趋势递增 故 x=-1最小值 f(-1)=5+2a