Question

在三角形ABC中 AB=AC AD垂直BC垂足为D AN是三角形ABC的外角角CAM的平分线

CE垂直AN于E 连接DE交AC于F 求证 DF平行AB 2DF=AB
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Answer 1

先证明平行四边形ADCE为矩形
因为角MAC为三角形ABC的外角.所以角MAC=角ABC+角ACB.
因为AN为角MAC的平分线.所以角NAC=角ACB.
所以AN平行于BC.
因为CE垂直于AN.所以角AEC为90°.因为AD垂直于BC.所以角ADE为90°.
因为AN平行于BC.所以角DCE=AEC=90°.
所以角ECD+角ADC=180°.
所以AD平行于EC.
四边形ADCE为平行四边形.
又因为角ADC=90°.所以平行四边形ADCE为矩形.
因为DE.AC为矩形的对角线.交于点F.
矩形的对角线互相平分.所以DF=FC.
角FDC=角FCD.
又因为AB=AC.所以角FCD=角ABC.
所以.角EDC=角ABC.
所以.DF平行于AB.

因为等腰三角形三线合一.所以AD为BC的中线.
D为BC的中点.
因为矩形对角线互相平分.
所以AF=FC.
F为AC的中点.
因为F.D分别为AC.BC的中点.DF平行于AB.
所以DF为三角形ABC的中位线.
所以2DF=AB