Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x属于R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立，则f...

已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x属于R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立，则f(2011)等于？ 请学霸帮帮忙！ 谢谢

Answer 1

f(x + 2) = f(x) + f(1)，f(x + 4) =f(x + 2+2) = f(x+2) + f(1)=f(x) + 2*f(1)，
所以f(2011) =f(1+1005*2) =f(1) + 1005*f(1)= 1006f(1)
因为f(1) = f(-1 +2) = f(-1) + f(1)
所以f(-1) = 0
又因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(1) = -f(-1) = 0
从而f(2011) = 0

Answer 2

f(x + 2) = f(x) + f(1)
f(2011) = f(2009) + f(1) = f(2007) + 2f(2) = ... = f(3) + 1004f(1) = f(1) + 1005f(1) = 1006f(1)
f(1) = f(-1 +2) = f(-1) + f(1)
消去f(1), f(-1) = 0
f(x)为R上的奇函数, f(1) = -f(-1) = 0
f(2011) = 0