Question

有关高数的问题

我们知道，直角坐标系下曲线的弧长公式是s=∫（a，b）√1+（f‘（x））²dx，极坐标下的公式是s=∫（θ1，θ2）√r²（θ）+（r’（θ））²dθ，请问这个在极坐标下的弧长公式是怎么根据直角坐标系下弧长公式导出来的，是不是利用参数方程的形式：x=r（θ）cosθ，y=r（θ）sinθ，请问具体计算过程是什么，我计算没得出最终的公式，请高手帮忙，谢谢

Answer 1

就是做x=r（θ）cosθ，y=r（θ）sinθ参数变化

追问

您算的好像不对吧，dx=r‘（θ）cosθ-r（θ）sinθ dθ吧，您再给看看，最好能写的再详细点，谢谢

追答

对，就那部错了，后面是对的，dx=r‘（θ）cosθ-r（θ）sinθ dθ 将根式中分母消除即可
这里有个小问题，就是dx的正负号问题，
若r‘（θ）cosθ-r（θ）sinθ是负的，说明积分区间是θ2到θ1，
正负号和积分区间的上下正好抵消。