Question

一道高中数学题！！！！请求大神求解！！

函数f(x)=x^3+sinx,若0≤Q≤∏/2时，f（mcosQ）+f(1-m)＞0恒成立，则m的取值范围？

Answer 1

这个是个单调递增的奇函数， 两个部分都是奇函数所以和函数也是奇函数， 单调性就求导
f'(x)=3x²+cosx，这个函数可以再次求导，最好画图 画出 y=3x² 与y=-cosx，发现两个图像没有交点，这也就是说，导函数不可能为负，OK？

f（mcosQ）+f(1-m)＞0 得到f（mcosQ）＞-f(1-m) → f（mcosQ）＞f(m-1)
只需要
mcosQ＞m-1 对于Q∈[0，π/2]恒成立
当Q≠0时， m＜1/（1-cosQ），讲右边的视为新函数，m只需要＜它的最小值， 所以m＜1 ,
档Q＝0时，m＜1
综上诉述，m＜1 就可以了

Answer 2

解： 由题意知 f(x)+f(-x)=0;
所以 f(x)是一个奇函数
又因为 f(X)单调增加（自己去证；注）
即原不等式等价于
mcosQ+1-m>0恒成立
分离系数
m<1/(1-cosQ)
m小于1/（1-cosQ）的最小值
最终 m<1；
注：对f(x)求导 f'(x)=3x^2+cosx>0在 R上

Answer 3

因为F（X)＝X^3+x为奇函数且F（X)＝X^3+x=x（x^2+1），所以F（X)=0的解为x=0
所以，当x>0时F（X)>0,当x<0时F（X)<0,
要想F(msinθ) F(1-m)>0，所以F(msinθ)、 F(1-m)一定要同号
所以（msinθ）（1-m）>0 因为 0≤θ≤90度 所以sinθ>0 因此解得 0<m<1