Question

已知函数f(x)= | lg(x-1)|,且对实数a,b满足1<a<b, f(a)= f(b/(b-1))

1、 求证a<2<b。
2、f(b)= 2f((a+b)/2), 求证4<b<3+根号2

Answer 1

①，已知f(x)= | lg(x-1)|，所以相当于把y=lg（x-1）在x轴以下的图像翻着到x轴上方，呈对称
且由题可知，当x=2时，f（x）=0
所以同一个y值是可有2个x值对应的
当实数a,b满足1<a<b, f(a)= f(b/(b-1))时，a＜2＜b

②f(b)= 2f((a+b)/2), 求证4<b<3+√2
f(a)= f(b/(b-1))==>|lg(a-1)|=|lg1/(b-1)|,a<2<b==>-lg(a-1)=-lg1/(b-1)==>(a-1)(b-1)=1
f(b)= 2f((a+b)/2)==>|lg(b-1)|=|lg((a+b)/2-1)^2|=|lg((a-1+b-1)/2)^2|
1/（b-1）=(a-1+b-1)/2)^2或（b-1）=(a-1+b-1)/2)^2

1/（b-1）=(a-1+b-1)/2)^2,(a-1)(b-1)=1
==>4(a-1)=(a-1)^2+(b-1)^2+2>4
==>a-1>1
a>2,与a<2矛盾.

（b-1）=(a-1+b-1)/2)^2,(a-1)(b-1)=1
==>4(b-1)=(a-1)^2+(b-1)^2+2,1<a<2
==>4(b-1)=(a-1)^2+(b-1)^2+2<(b-1)^2+3
==>(b-1)^2-4(b-1)+3>0
解得b-1>3,b>4
4(b-1)=(a-1)^2+(b-1)^2+2
==>(b-1)^2-4(b-1)+(a-1)^2+2=0
解得b-1=2+√[2-(a-1)^2]<2+√2,b=2-√[2-(a-1)^2)<2舍去
b<3+√2
综上有4<b<3+√2

追问

第一问如何解释

追答

∵f(a)= f(b/(b-1)),
|lg(a-1)|=|lg(b/(b-1)-1)|=|lg1/(b-1)|
故f(a)、f(b/(b-1))的图象一致，
对实数a,b满足1<a<b,
若1<a<b<2或2<a<b,(a-1)、1/(b-1)不存在倒数关系，且不等，f(a)= f(b/(b-1))不可能成立。
所以a、b必是一个大于2，一个小于2，且有1<a<b
所以一定是a<2<b