Question

在△ABC中，abc分别为角ABC对边，若c乘cosB=b乘cosC,且cosA=三分之二，则cos2B等于

Answer 1

c乘cosB=b乘cosC
根据正玄定理b/sinB=c/sinC
所以 sinCcosB=sinBcosC
也就 sin（C-B）=0
所以C=B
cos2B =cos（π-A）=-cosA =-2/3

Answer 2

由余弦定理，cosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac， cosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab
所以
c·cosB=b·cosC
=》（a^2+c^2-b^2）/2a=（a^2+b^2-c^2）/2a
=》（a^2+c^2-b^2）=（a^2+b^2-c^2）
=》c^2-b^2=b^2-c^2
=》b=c
又因为cosA=2/3=（b^2+c^2-a^2）/2bc=（2b^2-a^2）/2b^2
=》3a^2=2b^2
=》b/a=√6/2
又因为cosA=2/3,所以sinA=√5/3.
由正弦定理可知sinB/b=sinA/a
所以sinB=sinA*b/a=√5/3*√6/2=√30/6.所以：COS2B=1--2(sinB)^2= 1--2x30/36= --2/3