Question

若直角三角形的内切圆半径为1 求它的面积的最小值

Answer 1

设斜边被切点分为两部分的长度分别为x和y，则两条直角边分别为x＋1和y＋1
(x+1)^2+(y+1)^2=(x+y)^2
得：x+y+1=xy,y=(x+1)/(x-1)
面积S=(x+1)(y+1)/2=x+2/(x-1)=(x-1)+2/(x-1)+3≥2^(1/2)+3
当且仅当x=2^(1/2)+1取等号。

Answer 2

等腰时面积最小;设直角边为m+1,n+1.所以斜边为m+n,三角行整体面积S=m+n+1,勾股定理
(1+m)~2+(1+n)~2=(m+n)~2{"~"代表平方},求出m=n=1+2倍根号2,所以S=m+n+1=3+2倍根号2."~"代表平方

Answer 3

以直角三角形的两直角边所在直线为x轴、y轴建直角坐标系，
直角顶点就是原点，内切圆圆心就是(1，1)。
设斜边所在直线方程是y=kx+b (k<0，b>2)。
由相切得：|k-1+b|/√(k^2+1)=1
化简得:2(b-1)k+b^2-2b=0
所以k=(2b-b^2)/[2(b-1)]
三角形的面积为：
S=-b^2/2k=(b^2-b)/(b-2)
S'=(b^2-4b+2)/(b-2)^2
令S'=0，则b=2±√2（舍去2-√2）
当2<b<2+√2时，S'<0，S关于b单调递减；
当b>2+√2时，S'>0，S关于B单调递增
所以当b=2+√2时，S取得最小值，最小值是2√2+3。
而当b趋近于+∞ 时，S也趋近于+∞ ，
所以直角三角形的面积的取值范围是：
[2√2+3，+∞)