Question

若a+b+c=1,则√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值是多少

Answer 1

解答：
换元法,令√(3a+1)=A,√(3b+1)=B,√(3c+1)=C
则A，B，C均非负。
则A²+B²+C²=3(a+b+c)+3=6
又A²+B²+C²≥AB+BC+CA
∴(A+B+C)²=A²+B²+C²+2(AB+BC+CA)≤3(A²+B²+C²)=18
当且仅当A=B=C时等号成立
∴ A+B+C≤3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值是3√2

Answer 2

过程：设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12<=0
开口向上的抛物线小于等于0有解则判别式大于等于0
所以4m^2-12(m^2-12)>=0
m<=3√2
所以√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=m<=3√2
即√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值=3√2

追问

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