Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？ 求详细解答 要有过程的 谢谢。

Answer 1

这道题不要考虑 x 的取值，因为法则 f 和 F 不知道，不可能得到 x 的取值，我们唯一知道取值范围的是 f(x) ，那么就从 f(x) 入手，我们可以将f(x)简化为一未知数a，即令a=f(x)，因为f(x)的值域为[1/2,3]，所以a的取值范围为[1/2,3]
所以有F(x)=f(x)+1/f(x)=a+1/a，(1/2《a《3)
根据均值不等式及对号函数（或叫做对勾函数）的图象，我们知道
在a=1/a，即a=1（在这道题中）时取的最小值2，
在区间的端点处取得最大值，比较两端点的取值：
a=1/2 时，F(x)=5/2；a=3 时，F(x)=10/3;
a=3 时(a+1/a)的值更大
所以 F(x) 的值域为 [2,10/3]
附对号函数介绍及图像页：
http://baike.baidu.com/view/701834.htm

Answer 2

f(x)的值域为[1/2,3]
则1/f(x)的值域为[1/3,2]
则F(x)的值域为[5/2,10/3]

追问

呃 答案是[2,10/3]

Answer 3

因为f(x)>0,所由基本不等式有：F(x)=f(x)+1/f(x)>=2,当且仅当f(x)=1时等号成立
易知x属于[1/2,1]时f(x)单调递减，属于【1，3】时f(x)单调递增
又f(1)=2, f(1/2)=5/2, f(3)=10/3,
所以值域为[2,10/3]