Question

若函数y=(ax-1)/根号下(ax2+4ax+3)的定义域为R，求实数a的取值范围

Answer 1

若函数y=(ax-1)/√(ax²+4ax+3)的定义域为R，求实数a的取值范围
解：要使y的定义域为R，则必须使不等式ax²+4ax+3>0对任何x都成立，也就是要
使其判别式Δ=16a²-12a=4a(4a-3)<0，即0<a<3/4；当a=0时ax²+4ax+3≡3对
任何x都成立，故考虑这一特殊情况，可取a=0；即a的取值范围为0≦a<3/4.
(注意a≠3/4，因为当a=3/4时，ax²+4ax+3=(3/4)x²+3x+3=(3/4)(x²+4x)+3
=(3/4)[(x+2)²-4]+3=(1/4)(x+2)²，当x=-2时分母为0，从而使y的定义域不能是R)。

追问

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追答

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Answer 2

∵函数y=(ax-1)/根号下(ax^2+4ax+3)的定义域为R，∴ax^2+4ax+3＞0
a=0时，函数y=-1/√3，其定义域为R，符合题意要求；
a≠0时，要使ax^2+4ax+3＞0，a＞0且(4a)^2-4×3×a＜0，解得0＜a＜3/4,；
综上所述，实数a的取值范围为0≤a＜3/4

追问

△到底大于零还是小于零啊

追答

要使二次三项式恒大于零，根据二次函数的图象可知二次项系数大于零且判别式小于零；