Question

设A是R1中的非空集,试证明点集B={x∈A:存在δ>0,使得(x,x+δ)∩A=空集}是可数集

Answer 1

在(0,1)中，x∈B至多可列个
因为若不可列，则对每x，都存在一个d，使得(x,x+d)与A不交，这里可以将d取得比较小，使x+d<1
那么这不可列个长度为d的区间显然互不相交（因为靠前的区间不可能包含x）
而且不可列个加起来长度不可能有限
所以至多可列

那么同理的取这样有限长的区间段，可以取可列个覆盖R
那么可列个可列点仍为可列点

追问

R1表示的是一维点集，怎么可能被覆盖？而且（0，1）又是从哪儿来的？看不太明白呢

追答

就是我们可以找可列个开区间(n,n+2)，其中n取任意整数，那么这些开区间就覆盖R
如果觉得(0,1)不太好的话，就用(0,2)吧，都一样的……