Question

如图 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA
∴在△DBC和△ECA中
∠D=∠AEC
∠DBC=∠ECA
BC=CA
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
在Rt△CDB和Rt△AEC中
AE=CD
AC=BC
∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=1/2 BC=1/2 AC，
且AC=12cm．
∴BD=6cm．

不知道提问者是否满意。望采纳捏~

Answer 2

证明：
∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°
∴∠D＝∠AEC
又∠DBC＝∠ACE＝90°，AC＝BC
∴△DBC≌△ECA(AAS)
∴AE＝CD

由上得：△DBC≌△ECA
∴BD＝EC＝1/2BC＝1/2AC
且AC＝12cm
∴BD＝1/2AC＝6cm

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