Question

已知函数f(x)=x²+1/ax+b是奇函数，且f(1)=2。 求a，b的值

f(x)=x2+1/ax+b，判断f(x)在(-无穷，-1)的单调性

Answer 1

∵f(x)=(x²+1)/(ax+b)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即（x²+1)/(-ax+b)=-(x²+1)/(ax+b)
∴ax-b=ax+b
∴2b=0,b=0
∴f(x)=(x²+1)/(ax)
∵f(1)=2
∴2/a=2,a=4
即a=4,b=0

∴f(x)=(x²+1)/(4x)=1/4*(x+1/x)
设x1<x2<-1
那么f(x1)-f(x2)
=1/4[(x1-x2)+(1/x1-1/x2)]
=1/4*(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
=1/4*(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)
∵x1<x2<-1
∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0
∴1/4*(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
f(x)是(-∞,-1)上的增函数