已知函数f(x)= lnx-a/x, (1)当a>0时,判断fx在定义域上的单调性。 (2)若fx
已知函数f(x)=lnx-a/x,(1)当a>0时,判断fx在定义域上的单调性。(2)若fx在【1,e】上的最小值为2,求a的值...
已知函数f(x)= lnx-a/x,
(1)当a>0时,判断fx在定义域上的单调性。
(2)若fx在【1,e】上的最小值为2,求a的值 展开
(1)当a>0时,判断fx在定义域上的单调性。
(2)若fx在【1,e】上的最小值为2,求a的值 展开
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(1)显然f(x)的定义域为(0,+∞)
因x>0,a>0
则f'(x)=1/x+a/x^2>0
表明f(x)在其定义域上为增函数
(2)若a>0
由(1)知f(x)为增函数
则f(x)min=f(1)=-a=2
即a=-2
显然与a>0矛盾
若a<0
令f'(x)=1/x+a/x^2=0
注意到x>0
解得x=-a
当0<x<-a时,f'(x)<0,表明f(x)在该区间递减
当x>-a时,,f'(x)>0,表明f(x)在该区间递增
显然x=-a为f(x)在其定义域上的最小值点
若0<-a≤1(-1≤a<0)时,f(x)在[1,e]上递增,则f(x)min=f(1)=-a=2,即a=-2,与前设不符
若1<-a≤e(-e≤a<-1)时,f(x)的最小值点在[1,e]上,则f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2,即a=-e
若-a>e(a<-e)时,f(x)在[1,e]上递减,则f(x)min=f(e)=1-a/e=2,即a=-e,与前设不符
综上知若f(x)在[1,e]上的最小值为2时,a=-e
因x>0,a>0
则f'(x)=1/x+a/x^2>0
表明f(x)在其定义域上为增函数
(2)若a>0
由(1)知f(x)为增函数
则f(x)min=f(1)=-a=2
即a=-2
显然与a>0矛盾
若a<0
令f'(x)=1/x+a/x^2=0
注意到x>0
解得x=-a
当0<x<-a时,f'(x)<0,表明f(x)在该区间递减
当x>-a时,,f'(x)>0,表明f(x)在该区间递增
显然x=-a为f(x)在其定义域上的最小值点
若0<-a≤1(-1≤a<0)时,f(x)在[1,e]上递增,则f(x)min=f(1)=-a=2,即a=-2,与前设不符
若1<-a≤e(-e≤a<-1)时,f(x)的最小值点在[1,e]上,则f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2,即a=-e
若-a>e(a<-e)时,f(x)在[1,e]上递减,则f(x)min=f(e)=1-a/e=2,即a=-e,与前设不符
综上知若f(x)在[1,e]上的最小值为2时,a=-e
更多追问追答
追问
请问a取值范围怎么来的,为什么要取a大于0等等!!
追答
没有特别说明,一般认为a为实数。既然是一个不确定的实数,当然可能是正数或者负数或者0。这里只不过分开讨论罢了。代数中,分类讨论是经常要用到的方法
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