Question

若无穷等比数列an的首项为a1€N，公比为q,且1/q€N，Sn=a1+a2+…+an,且limS

若无穷等比数列an的首项为a1€N，公比为q,且1/q€N，Sn=a1+a2+…+an,且limSn=3,则a1+a3

Answer 1

1/q∈N，则0<q<1
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q) -a1q^n/(1-q)
0<q<1，n->+∞，q^n->0 a1/(1-q)有界，a1q^n/(1-q)->0
limSn=a1/(1-q)=3
n->+∞

a1=3(1-q)=3-3q
0<q<1 0<3q<3 0<3-3q<3，又a1∈N，a1=1或a1=2
a1=1时，3-3q=1 q=2/3
此时a1+a3=a1(1+q^2)=1×(1+4/9)=13/9
a1=2时，3-3q=2 q=1/3
此时a1+a3=a1(1+q^2)=2×(1+1/3)=8/3