Question

已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为平行四边形,点M、N分别在pa、bd上,且pm:ma=bn:nd.求证：mn//平面pbc

如题

Answer 1

过M做ME//AB，过N做NF//DCME/AB=PM/PANF/DC=BN/BDpm:ma=bn:nd.AB=DCME=NF证它们平等更容易，可以得出ME平行且相等于NFMEFN是平行四边形MN//EFmn//平面pbc

Answer 2

过N做NQ//DC 所以 NQ:DC=BN:BD过M做ME//AB 所以 ME:AB=PM:PA 因为pm:ma=bn:nd 所以.PM:PA =BN:BD 因为abcd为平行四边形所以AB=DC 所以NQ=ME因为abcd为平行四边形所以DC//AB 所以 ME//NQ所以MNQE为平行四边形所以MN//EQ因为EQ属于平面PCBMN不属于面PCB所以mn//平面pbc

Answer 3

过Ｎ点作ＮＱ平行ＢＣ交ＡＢ于Ｑ点，连接ＱＭ，ＭＮ因为底面abcd为平行四边形所以ＮＱ//ＢＣ//ＡＤ三角形ＡＢＤ中就有ＢＮ：ＮＤ＝ＢＱ：ＱＡ又因为ＰＭ:ＭＡ=ＢＮ:ＮＤ所以ＰＭ:ＭＡ＝ＢＱ：ＱＡ所以可以看出在三角形ＰＡＢ中ＭＱ//ＰＢ因为之前题设ＮＱ//ＢＣ所以平面ＭＱＮ//平面ＰＢＣ（平面上两条交线分别与另一平面两条交线平行，所以两平面平行）因些ＭＮ//平面ＰＢＣ