利用数列极限的定义证明下列极限 lim（n趋向于无穷）n^2+1/n^2-1=1
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任给ε>0,要使│(n^2+1)/(n^2-1)-1│<ε,即
│2/(n^2-1)│<ε
n^2-1>2/ε，∴N=[√(1+2/ε)]
所以，任给ε>0,都存在自然数N=[√(1+2/ε)]，使当n>N时，│(n^2+1)/(n^2-1)-1│<ε
根据极限定义，得 lim（n趋向于无穷）[(n^2+1)/(n^2-1)]=1
│2/(n^2-1)│<ε
n^2-1>2/ε，∴N=[√(1+2/ε)]
所以，任给ε>0,都存在自然数N=[√(1+2/ε)]，使当n>N时，│(n^2+1)/(n^2-1)-1│<ε
根据极限定义，得 lim（n趋向于无穷）[(n^2+1)/(n^2-1)]=1
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