Question

如图，三角形ABC中，AB=AC=BC，P为三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，三角形ABC的面积

Answer 1

将PA沿A点顺时针旋转60°，使P点落到D点，连接PD，BD
由旋转含义知：∠PAD=60°，PA=AD
∴△PAD是等边三角形，有PD=PA=4，且∠APD=60°
等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB
∴∠BAC=∠PAD
而∠CAP=∠BAC-∠PAB
∠BAD=∠PAD-∠PAB
∴∠CAP=∠BAD
于是，在△CAP和△BAD中：
AB=AC，∠CAP=∠BAD，PA=AD
∴△CAP≌△BAD
∴BD=PC=5
在△PBD中，三边PD=3,BD=5,PB=4
很容易得出：BD^=PD^+PB^
由勾股定理逆定理可得出:
∠BPD=90°
∴∠APB=∠BPD+∠APD=90°+60°=150°
于是，在△APB中，已知两边PA=3,PB=4,以及两边夹角∠APB=150°，可根据余弦定理求出AB的长：
AB^2=PA^2+PB^2-2*PA*PB*cos∠APB
代入各个数值，可求出：
AB=√(25+12√3)