Question

大一高数，一条关于等价无穷小的替换的题目。

第（9）题，（a^x-1）+(b^x-1)化成了对数，然后用公式替换成xlna+xlnb(x约掉了）。 我想问的是为什么这能用等价无穷小的替换？不是规定分子或分母的乘积因子才能替换吗？这里好像不是乘积因子，怎么就替换了？

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Answer 1

这里用到了两次等价无穷小.
第一次使用:x趋于0时in(1+t)与t是等价无穷小量 此题t为(a^x+b^x-2)
第二次使用:
a^x-1与xlna是等价无穷小量
把a^x-1在0点进行泰勒展开，a^x-1=1+xlna+o（x^2）

b^x-1与xlnb是等价无穷小量,同样有b^x-1=1+xlnb+o（x^2）
分母没变,再约掉就ok了.

追问

不是规定分子或分母的乘积因子才能替换吗？这里的（a^x-1）+（b^x-1）是相加，为什么还能替换？